সোমবার, ৯ ডিসেম্বর, ২০১৩

কাপরেকারের ধ্রুবক এবং কা্প্রেকার সংখ্যা

কাপরেকারের ধ্রুবক এবং কা্প্রেকার সংখ্যা পারস্পরিক সম্পর্কহীন দুটো আলাদা বিষয়।
প্রথমে আসি কাপ্রেকারের ধ্রুবক বিষয়ে-
৬১৭৪ সংখ্যাটিকে ভারতীয় গণিতবিদ ডি. আর. কাপ্রেকারের নামানুসারে কাপ্রেকারের ধ্রুবক বলা হয়। সংখ্যাটির গুরুত্ব বুঝতে নিম্নবর্ণিত কাজটি করুন-
১. চার অঙ্কের যে কোনো সংখ্যা নিন। অন্তত দুটো অঙ্ক হতে হবে ভিন্ন। প্রথমে শূন্য রাখা যাবে।
২. সংখ্যাটিকে উর্ধ্ব ও নিম্ন ক্রমানুসারে সাজিয়ে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যাদ্বয় বের করুন।
৩. বৃহত্তম সংখ্যা থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে বিয়োগ করুন।
৪. প্রাপ্ত ফলাফল দিয়ে ২ নং ধাপ করতে থাকুন।
এ প্রক্রিয়ায় অনুর্ধ ৭ ধাপেই ৬১৭৪ সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। একবার ৬১৭৪ পাওয়া গেলে এরপর প্রতিবারই প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করতে থাকলে এ সংখ্যাই পাওয়া যাবে কারণ ৭৬৪১-১৪৬৭=৬১৭৪।
যেমন ৫৬৮৪ সংখ্যাটি নিই।  অঙ্কগুলো ক্রমান্বয়ে সাজিয়ে বড় সংখ্যা ৮৬৫৪ ও ছোট সংখ্যা ৪৫৬৮।
এখন ৮৬৫৪-৪৫৬৮=৪০৮৬
        ৮৬৪০-০৪৬৮=৮১৭২
        ৮৭২১-১২৭৮=৭৪৪৩
        ৭৪৪৩-৩৪৪৭=৩৯৯৬
        ৯৯৬৩-৩৬৯৯=৬২৬৪
        ৬৬৪২-২৪৬৬=৪১৭৬
        ৭৬৪১-১৪৬৭=৬১৭৪......

তবে  Repdigit এর ক্ষেত্রেই শুধু নিয়মটি প্রযোজ্য হবে না। Repdigit হলো একই সংখ্যার পুনরাবৃত্তি নিয়ে গঠিত স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ। যেমন ১, ১১, ২২২, ৪৪৪, ৭৭৭৭৭ ইত্যাদি। এক্ষেত্রে প্রক্রিয়াটি চালাতে গেলে প্রথমবারেই আসবে ১১১১-১১১১= ০, ৪৪৪৪-৪৪৪৪=০ ইত্যাদি। ফলে প্রক্রিয়াটি চালানো যাবে না।

তিন অঙ্কের সংখ্যার ক্ষেত্রে ধ্রুবকটি হবে ৪৯৫। ২ এর ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট কোন ধ্রুবক নেই, তবে প্রাপ্ত ভাগফলগুলো একটি লুপ মেনে চলে। ৪ এর চেয়ে বড় সংখ্যাগুলোর কোনটির জন্য নির্দিষ্ট ধ্রুবক আর কোনটির জন্য একটি লুপ পাওয়া যায়। তবে চার অঙ্কের সংখ্যা ৬১৭৪ কেই মূলত কাপ্রেকারের ধ্রুবক বলা হয়।

এবারে আসি কাপ্রেকার সংখ্যায়-

কাপ্রেকার সংখ্যা হলো সেই অ-ঋণাত্মক সংখ্যা যার বর্গকে দুই অংশে বিভক্ত করে অংশদ্বয় যোগ করলে আদি সংখ্যাটি ফিরে পাওয়া যায়, যেমন ৪৫।
কারণ, ৪৫=২০২৫ আর ২০+২৫=৪৫
একেবারে শুরুর দিকের কিছু কাপ্রেকার নাম্বার হলো ১, ৯, ৪৫, ৫৫, ৯৯, ২৯৭, ৭০৩, ৯৯৯....ইত্যাদি।
৯, ৯৯, ৯৯৯, ৯৯৯৯...ইত্যাদি অর্থ্যাৎ শুধু ৯ দিয়ে গঠিত যে কোনো সংখ্যাই কাপ্রেকার সংখ্যা।
কাপ্রেকার সংখ্যারও নামকরণ অবশ্য ডি. আর. কাপ্রেকারের নামানুসারেই হয়েছে। 

সূত্রঃ
১. http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/index.html
২. Wikipedia : 6174_(number)
৩. http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10002.5-8.shtml
৪. http://math.about.com/od/recreationalmath/a/kaprekar.htm
৫. Wikipedia : Kaprekar_number

বুধবার, ১০ জুলাই, ২০১৩

বিভিন্ন ধরণের কোণের সংজ্ঞা

অনুরূপ কোণ, একান্তর কোন ও বিপ্রতীপ কোণ
এখানে ∠PEA= ∠EFC (অনুরূপ কোণ)
∠PEA= ∠BEF (বিপ্রতীপ কোণ)
∠  BEF= ∠EFC (একান্তর কোণ)